一篇文掌握三角形重心：從定義、性質到歐拉線的完全攻略
在平面幾何學中，三角形這個圖形擁有多個具有特殊意義的「心」，例如外心、內心、垂心，以及我們本文將要深入探討的三角形「重心」觀念。三角形的重心不僅是一個純粹的幾何概念，它在物理學上對應著均質薄片三角形的質心，是理解力學平衡的關鍵點。
本文將詳細介紹重心的定義、核心性質、座標表示法，並探討其與其他三角形心的關聯。
重心的定義
要理解重心這個觀念，必須先認識「中線」。
中線 (Median): 在三角形中，連接一個頂點與其對邊中點的線段，稱為該邊上的中線。每個三角形都有三條中線。
重心 (Centroid): 三角形的三條中線必定會交於同一點，這個唯一的交點就稱為此三角形的重心，通常以符號 G 表示。
一個重要的特性是，無論是銳角三角形、鈍角三角形還是直角三角形，其重心永遠都會落在三角形的內部。
重心的核心性質
三角形重心的幾何性質非常獨特且實用，這個觀念是解決許多幾何問題的基礎，許多教學影片也常以此為主題。
中線的比例性質 (2:1 Ratio):這是重心最廣為人知的性質。重心會將每一條中線分成兩段，從頂點到重心的距離，恰好是重心到對邊中點距離的 2 倍。若 △ABC 的三條中線為 AD、BE、CF，交於重心 G 點，則：AG : GD = BG : GE = CG : GF = 2:1$這個性質可以透過相似三角形（例如 △GEF ∼ △GBC）來證明，因為 EF 是 △ABC 的中位線，平行於 BC 且長度為其一半。
面積分割性質:
連接重心與三個頂點的線段（GA、GB、GC），會將原三角形分割成三個面積相等的小三角形。即 面積(△GAB) = 面積(△GBC) = 面積(△GCA)。
三條中線會將原三角形分割成六個面積相等的小三角形。
座標幾何表示法:在平面直角座標系中，若三角形的三個頂點座標分別為 A(x_1, y_1)、B(x_2, y_2)、C(x_3, y_3)，則其重心 G 的座標為三個頂點座標的算術平均數：G(x_1+x_2+x_3/3, y_1+y_2+y_3/3)$
向量關係式:以重心 G 為原點，其與三個頂點的向量和為零向量：G⃗A⃗ + G⃗B⃗ + G⃗C⃗ = 0⃗$
距離平方和最小:對於平面上任意一點 P，到三角形三頂點的距離平方和 PA^2 + PB^2 + PC^2 在 P 點為重心時有最小值。
重心與其他「心」的關係
三角形的各個心之間存在著微妙而有趣的關聯。
歐拉線 (Euler Line): 對於任意非正三角形，其三角形的外心(O)、重心(G) 和垂心(H) 這三點必定共線，這條直線被稱為「歐拉線」。並且，重心 G 恰好位於外心 O 與垂心 H 的連線上，滿足比例關係 OG : GH = 1:2。
特殊三角形中的三心關係:
正三角形 (Equilateral Triangle): 外心、內心、垂心、重心會重合在同一個點上。
等腰三角形 (Isosceles Triangle): 外心、內心、垂心、重心皆在頂角的角平分線上，即對稱軸上。
直角三角形 (Right Triangle): 外心位於斜邊的中點；重心則位於連接頂點與斜邊中點的中線上，距離斜邊中點 1/3 中線長的位置。
三角形四心比較表
為了更清晰地分辨，下表整理了重心與其他常見三角形心的定義與關鍵性質。
心 的 名 稱
定義 (交點)
關鍵性質
重心 (Centroid)
三條中線的交點
到頂點距離與到對邊中點距離比為 2:1
內心 (Incenter)
三條角平分線的交點
到三邊等距離，為內切圓的圓心
外心 (Circumcenter)
三條中垂線的交點
到三頂點等距離，為外接圓的圓心
垂心 (Orthocenter)
三條高的交點
頂點、垂心與對邊所形成的角，與另兩頂角相等
常見問題 (FAQ)
Q1: 三角形的重心一定在三角形內部嗎？
A1: 是的，無論三角形的形狀如何（銳角、鈍角或直角），重心永遠位於其內部。
Q2: 三角形重心和物理學上的「質心」有什麼不同？
A2: 對於一個由均勻密度材料製成的三角形薄片，其幾何上的「重心」與物理學上的「質心」（質量中心）是同一個點。
Q3: 如何在題目中應用重心的性質？
A3: 當題目涉及邊長、中線長度的計算時，可以利用「2:1」的比例性質。當題目與面積相關時，可以利用重心將三角形面積三等分或六等分的性質來求解。
Q4: 正三角形的重心有什麼特別之處？
A4: 正三角形因為其高度的對稱性，它的重心、內心、外心和垂心會全部重疊在同一個點上，這個點是該三角形的絕對中心。
總結
本文介紹的三角形重心是幾何學中一個 foundational 的觀念。它不僅是三條中線的交匯點，更蘊含了精確的比例與面積分割性質。無論是在座標系統中的平均位置表示，還是在物理世界中的質量中心，重心都展現了數學的對稱與和諧之美。理解重心的定義、掌握其核心性質，並瞭解它與的外心、垂心在歐拉線上共線的關聯，對於深化幾何學的學習至關重要。
資料來源
三角形的重心
三角形的重心- Live 多媒體數學觀念典Online
【觀念】認識三角形的重心| 數學