单位向量的定义和举例说明

单位向量是指长度为 1 的向量。在数学中，单位向量通常用于表示方向，因为它只有方向信息，而没有大小信息。

单位向量的定义：

一个向量 v\mathbf{v}v 被称为单位向量，如果它的**模（长度）**等于 1，即：

∥v∥=1

\|\mathbf{v}\| = 1

∥v∥=1

其中 ∥v∥\|\mathbf{v}\|∥v∥ 表示向量的欧几里得长度，定义为：

∥v∥=v12+v22+⋯+vn2

\|\mathbf{v}\| = \sqrt{v_1^2 + v_2^2 + \cdots + v_n^2}

∥v∥=v12​+v22​+⋯+vn2​​

对于一个向量 v\mathbf{v}v 来说，如果它不是单位向量，则可以通过将它除以它的模来将其标准化为单位向量：

v^=v∥v∥

\hat{\mathbf{v}} = \frac{\mathbf{v}}{\|\mathbf{v}\|}

v^=∥v∥v​

其中，v^\hat{\mathbf{v}}v^ 是向量 v\mathbf{v}v 的单位向量。

举例说明：

1. 二维空间的单位向量：

在二维空间（平面）中，一个常见的单位向量是：

v=[10]

\mathbf{v} = \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \end{bmatrix}

v=[10​]

这个向量在 xxx 轴上，并且它的长度为 1：

∥v∥=12+02=1

\|\mathbf{v}\| = \sqrt{1^2 + 0^2} = 1

∥v∥=12+02​=1

另一个二维单位向量例子：

v=[1212]

\mathbf{v} = \begin{bmatrix} \frac{1}{\sqrt{2}} \\ \frac{1}{\sqrt{2}} \end{bmatrix}

v=[2​1​2​1​​]

这个向量与 xxx 轴正方向形成 45 度角，它的长度为：

∥v∥=(12)2+(12)2=12+12=1=1

\|\mathbf{v}\| = \sqrt{\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)^2 + \left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)^2} = \sqrt{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}} = \sqrt{1} = 1

∥v∥=(2​1​)2+(2​1​)2​=21​+21​​=1​=1

2. 三维空间的单位向量：

在三维空间中，一个常见的单位向量是：

v=[001]

\mathbf{v} = \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix}

v=​001​​

这个向量在 zzz 轴方向，并且它的长度为 1：

∥v∥=02+02+12=1

\|\mathbf{v}\| = \sqrt{0^2 + 0^2 + 1^2} = 1

∥v∥=02+02+12​=1

另一个三维单位向量例子：

v=[121222]

\mathbf{v} = \begin{bmatrix} \frac{1}{2} \\ \frac{1}{2} \\ \frac{\sqrt{2}}{2} \end{bmatrix}

v=​21​21​22​​​​

这个向量的长度为：

∥v∥=(12)2+(12)2+(22)2=14+14+24=1=1

\|\mathbf{v}\| = \sqrt{\left(\frac{1}{2}\right)^2 + \left(\frac{1}{2}\right)^2 + \left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^2} = \sqrt{\frac{1}{4} + \frac{1}{4} + \frac{2}{4}} = \sqrt{1} = 1

∥v∥=(21​)2+(21​)2+(22​​)2​=41​+41​+42​​=1​=1

3. 任意向量标准化为单位向量：

假设有一个二维向量：

v=[34]

\mathbf{v} = \begin{bmatrix} 3 \\ 4 \end{bmatrix}

v=[34​]

这个向量的长度为：

∥v∥=32+42=9+16=25=5

\|\mathbf{v}\| = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5

∥v∥=32+42​=9+16​=25​=5

我们可以将它标准化为单位向量 v^\hat{\mathbf{v}}v^：

v^=15[34]=[3545]

\hat{\mathbf{v}} = \frac{1}{5} \begin{bmatrix} 3 \\ 4 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \frac{3}{5} \\ \frac{4}{5} \end{bmatrix}

v^=51​[34​]=[53​54​​]

验证其长度：

∥v^∥=(35)2+(45)2=925+1625=2525=1

\|\hat{\mathbf{v}}\| = \sqrt{\left(\frac{3}{5}\right)^2 + \left(\frac{4}{5}\right)^2} = \sqrt{\frac{9}{25} + \frac{16}{25}} = \sqrt{\frac{25}{25}} = 1

∥v^∥=(53​)2+(54​)2​=259​+2516​​=2525​​=1

所以，单位向量 v^=[3545]\hat{\mathbf{v}} = \begin{bmatrix} \frac{3}{5} \\ \frac{4}{5} \end{bmatrix}v^=[53​54​​] 确实是长度为 1 的向量。

总结：

单位向量是长度为 1 的向量，通常用于表示方向。任何非零向量都可以通过将其除以自身的长度来标准化为单位向量。在几何和物理学中，单位向量常用于表示物体的方向，而忽略其大小。